Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar - Di dalam pelajaran matematika kalian pasti diajarkan mengenai cara- cara menggambarkan grafik fungsi aljabar baik yang berupa garis lurus maupun grafik fungsi aljabar dengan bentuk parabola. Grafik fungsi aljabar yang berbentuk garis lurus dinyatakan dengan persamaan fungsi linear y = f(x) = mx + nsedangkan grafik fungsi yang berbentuk parabola dinyatakan dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ax²+ bx + c.

Catatan:

Gambar dan grafik fungsi y = f(x) disebut kurva y = f(x). Untuk selanjutnya kita akan sering menggunakan istilah kurva.

Di dalam materi kali ini, Rumus Matematika Dasar akan mengajarkan cara-cara menggambarkan kurva yang dinyatakan dengan persamaan fungsi suku banyak. Fungsi sukubanyak adala suatu fungsi dengan peubah (variabel) x yang memupnyai pangkat lebih dari dua. Berikut adala beberapa contohnya: 

y = f(x) = x³+ 4x²  - 16x + 2

y = f(x) = x⁴ + 3x³ - 12x² - 10x + 5

y = f(x) = 2x⁵- 10x⁴ + 2x³ + 3x² + 15x + 6 ...... dan seterusnya.

Kurva-kurva yang dinyatakan dengan persaaan fungsi sukubanyak disebut sebagai kurva sukubanyak. 

Di dalam penerapannya, kemampuan menggambar kurva sukubanyak ini merupakan modal dasar untuk mempelajari kalkulus hitung integral, misalnya untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva sukubanyak dengan sumbu X, dan sebagainya.

Beberapa pengertian tentang fungsi naik, fungsi turun, titik balik maksimum, titik balik minimum, titik belok horisontal, serta titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat akan sangat membantu dalam menyelesaikan gambar suatu kurva suku banyak. Sebagai pedoman, berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat kalian ikuti tentunya untuk bisa menggambarkan suatu kurva sukubanyak.

Langkah-langkah untuk Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Langkah Pertama

Buatlah terlebih dahulu analisis pendahuluan yang meliputi:

• Menentukan koordinat titik-titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat (jika koordinat itu mudah ditentukan).

             (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil syarat y = 0

            (ii) titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil syarat x = 0

• Tentukan interval-interval ketika fungsi itu naik dan ketika fungsi itu turun.
• Tentukan titik-titik stationer serta jenisnya : titik balik maksimum, titik balik minimum, atau titik belok horisontal.
• Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval. Jika kurva itu akan digambarkan untuk semua bilangan real, maka perlu ditantukan nilai-nilai y untuk nilai x yang besar positif dan untuk nilai x yang besar negatif.
• Tentukanlah beberapa titik tertentu untuk memperhalus sketsa kurva.

Langkah Kedua

Dari langkah pertama, titik-titik yang didapat kita sajikan dalam bidang cartesius.

Langkah Ketiga

Titik-titik yang telah disajikan dalam bidang Cartesius pada langkah kedua, kemudian kita hubungkan dengan mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi. Dengan demikian, kita akan mendapatkan kurva y = f(x)

Agar kalian lebih mudah dan terampil dalam memahami cara menggambar kurva sukubanyak dengan persamaan y = f(x) maka sebaiknya perhatikan contoh di bawah ini:

Soal

Gambarlah sketsa kurva sukubanyak yang ditentukan dengan persamaan y = f(x) = 4x – x³

Cara Menjawabnya:

Langkah Pertama

(a) Koordinat titik-titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat.

 (i) titik potong dengan sumbu X, dengan mengambil y = 0

      4x – x³ = 0

èx(4 – x²) = 0

èx (2 + x) (2 – x) = 0

èx₁= -2 atau x₂ = 0 atau x₃ = 2

Titik-titik potong dengan sumbu X adalah (-2, 0) (0, 0), dan (2, 0)

                (ii) Titik potong dengan sumbu Y, dengan mengambil x = 0 diperoleh:

                      Y = 4(0) – (0)³ = 0

                Titik potong sumbu Y adalah (0, 0)

(b) Dari f(x) = 4x – x³maka f’(x) 4 – 3x²

     

                  f(x) naik jika f’(x) > 0                     ||             f(x) turun jika f’(x) < 0

                                4 – 3x² > 0                      ||                           4 – 3x² < 0

è3x²< 4                                            ||           à3x² > 4

è-2/3 √3 < x < 2/3 √3                      ||           àx < -2/3 √3 atau x > 2/3 √3     

Perhatikan diagram tanda f’(x) pada gambar berikut ini:

(c) Nilai stationer dan jenisnya

                

                Nilai stationer dicapai apabila f’(x) = 0

               

                4 – 3x² > 0

àx₁= -2/3 √3    atau   x₂ = 2/3 √3

Nilai-nilai stationernya:

Untuk x₁ = -2/3 √3    àf(-2/3 √3) = 4(-2/3 √3) – (-2/3 √3)³ = - 16/9 √3

        

f(-2/3 √3) = - 16/9 √3 merupakan nilai balik minimum, sebab f’(x)berubah tanda dari negatif menjadi positif ketika melewati x =-2/3 √3

Untuk x₂= 2/3 √3    àf(2/3 √3) = 4(2/3 √3) – (2/3 √3)³ =  16/9 √3

f(-2/3 √3) = 16/9 √3 merupakan nilai balik maksimum, sebab f’(x)berubah tanda dari positifmenjadi negatif ketika melewati x = 2/3 √3

Jadi titik balik maksimumnya (2/3 √3), 16/9 √3) dan titik balik minimumnya (-2/3 √3), -16/9 √3)

(d) Untuk x besar maka y = f(x) = 4x – x³ dekat dengan -x³

      Jika x besar positif, maka y besar negatif

      Jika y besar negatif maka x besar positif

(e) Ambil beberapa titik tertentu untuk memperbaiki sketsa kurva.

               

                x = -3 à y = f(-3) = 4(-3) – (-3)³ = 15 à (-3, 15)

                x = -1 ày = f(-1) = 4(-1) – (-1)³ = -3 à(-1, -3)

                x = 1 ày = f(1) = 4(1) – (1)³ = 3 à (1, 3)

                x = 3 à y = f(3) = 4(3) – (3)³ = 15 à (3, 15)

Langkah Kedua

Beberapa titik yang diperoleh pada langkah pertama diletakkan pada bidang kartesius.

Langkah Ketiga

Titik-titik yang telah disajikan pada bidang kartesius itu kemudian dihubungkan untuk memperoleh sketsa kurva yang mulus seperti pada gambar dibawah ini:

Dalam hal ini perlu juga diperhatikan pula naik turunnya fungsi pada interval-interval yang telah ditentukan pada langkah 1 bagian (b)

Demikianlah penjelasan tata Cara Menggambar Grafik Fungsi Aljabar lengkap dengan contoh soal dan penjelasan langkah-langkahnya. Semoga kalian bisa mengerti dan menerapkannya dengan baik.